E' dato il sistema lineare reale nelle incognite \(x,y,z\) \[ \cases{ x+(k+1)y+4z=4\\ ky+(k-2)z=-2\\ x+y+3z=3 } \]
Studiarne la risolubilità al variare di \( k \in \mathbb{R}\) e determinarne le soluzioni.
Calcolare autovalori ed autovettori della seguente matrice: \[ \left( \begin{matrix} 3&0&0\\ 2&1&1\\ -2&2&2 \end{matrix} \right ) \] dire se è diagonalizzabile, se si scrivere la matrice che diagonalizza la matrice.
Siano \(r_1\) e \(r_2\) le rette date rispettivamente dalle equazioni: \[ r_{1}: \begin{cases} x+2y+1=0\\ 3y+z+1=0 \end{cases}\quad r_{2}: \begin{cases} x=-3-2t\\ y=3+3t\\ z=-2-t \end{cases} \quad t \in\mathbb{R}. \]
Verificare che \(r_1\) e \(r_2\) sono incidenti trovando il loro punto d’intersezione.
Sia \(\pi\) il piano contenente le due rette e sia \(l\) la retta ortogonale al piano \(\pi\) nel punto \(P=(-2,3,0)\). Stabilire, motivando la risposta, s \(r_{1}\) e \(l\) sono parallele, incidenti o sghembe, analogamente si faccia per \(r_{2}\) e \(l\).
Determinare le coordinate del punto di \(l\) non appartenente al piano \(\pi\) la cui distanza dal punto \(Q=(0,4,-1)\) è uguale a \(d(Q,\pi)\)