E' dato il sistema lineare reale nelle incognite \(x,y,z\) : \[ \begin{cases} x+y+(k+8)z=4\\ x+ky+4z=-1\\ x+y+3z=4 \end{cases} \]
Studiarne la rsisolubilità; al variare di \(k\in\mathbb{R}\) e determinarne le soluzioni.
Calcolare autovalori ed autovettori della seguente matrice:
\[ \left( \begin{matrix} 2&0&0\\ 3&-4&3\\ 3&-6&5 \end{matrix} \right) \] dire se è diagonalizzabile, se si scrivere la matrice che diagonalizza la matrice.
Siano \(r_1\) e \(r_2\) le rette date rispettivamente dalle equazioni: \[ r_{1}: \begin{cases} x-2y-z=0\\ y+z-1=0 \end{cases}\quad r_{2}: \begin{cases} x=1+3t\\ y=2+t\\ z=3-5t \end{cases} \quad t \in\mathbb{R}. \]
Verificare che \(r_{1}\) e \(r_{2}\) sono incidenti trovando il loro punto d’intersezione.
Sia \(\pi\) il piano contenente le due rette e sia \(l$\) la retta ortogonale al piano \(\pi\) nel punto \(P=(0,1,4)\).
Stabilire, motivando la risposta, se \(r_{1}\) e \(l\) sono parallele, incidenti o sghembe, analogamente si faccia per \(r_{2}\) e \(l\).
Determinare le coordinate del punto di \(l\) non appartenente al piano \(\pi\) la cui distanza dal punto \(Q=(2,0,5)\) è uguale a \(d(Q,\pi)\).