Discutere, al variare del parametro \(a\in\mathbb{R}\), le soluzioni del sistema di equazioni: \[ \begin{cases} x+ 4z=a,\\ 2x+ay+9z=1,\\ ax+3y-7z=1, \end{cases} \] Determinare in particolare le soluzioni del sistema per \(a=1\).
Per \(a\neq -3/4\) ed \(a \neq -1\) esiste una unica soluzione:
in particolate per \(a=1\) vale
Per \(a=-3/4\) e \(a=-1\) il sistema non ammette soluzioni.
Calcolare autovalori ed autovettori della seguente matrice:
dire se è diagonalizzabile, se si scrivere la matrice che diagonalizza la matrice.
La matrice è diagonalizzabile perche ha 3 autovalori distinti, \(\lambda_{1}=3\), \(\lambda_{2}=6\), \(\lambda_{3}=0\). La matrice che diagonalizza è quella le cui colonne sono gli autovettori e vale:
Sia \(\pi\) il piano passante per i punti \(A=(1,-1,0)\), \(B=(-3,2,1)\) a \(C=(-1,1,1)\), determinarne l’equazione cartesiana.
Sia \(r\) la retta ortogonale al piano \(\pi\) nel punto \(P=(-9,3,-1)\) e sia \(s\) la retta passante per i punti \(D=(-3,3,-7)\) ed \(E=(2,1,-11)\). Trovare le equazioni delle due rette e studiare la loro posizione reciproca stabilendo se esse sono incidenti, parallele o sghembe.
Trovare le coordinate dei due punti appartenti alla retta \(s\) aventi entrambi distanza dal punto \(Q=(-7,7,-5)\) pari a \(d(Q,\pi)\).
l’equazione del piano è: \[ \pi\;:\; -x-2\,y+2\,z-1 = 0, \] le rette hanno equazione parametrica: \[ r\;:\; \begin{cases} x=-9-t\\ y=3-2\,t\\ z=-1+2\,t \end{cases}, \qquad s\;:\; \begin{cases} x=-3+5\,t\\ y=3-2\,t\\ z=-7-4\,t \end{cases} \] e sono incidenti nel punto \[ \left(-8, 5, -3\right) \] La distanza \(d(Q,\pi) = 6\) e i punti su \(s\) aventi distanza 6 punto \(Q\) sono: \[ \left( -3, 3, -7\right), \qquad \left( -11, \frac{31}{5}, -\frac{3}{5}\right). \]