Discutere, al variare del parametro \(a \in \mathbb{R}\), le soluzioni del sistema di equazioni: \[ \begin{cases} y+4z=a-4,\\ ax+2y+9z=-8,\\ 3x+ay-7z=8, \end{cases} \] Determinare in particolare le soluzioni del sistema per \(a=1\).
Per \(a\neq -3/4\) ed \(a \neq -1\) esiste una unica soluzione:
in particolate per \(a=1\) vale
Per \(a=-3/4\) e \(a=-1\) il sistema non ammette soluzioni.
Calcolare autovalori ed autovettori della seguente matrice: \[ \left( \begin{matrix} 5&-6&4\\ 5&-8&5\\ 2&-4&3 \end{matrix} \right) \] dire se è diagonalizzabile, se si scrivere la matrice che diagonalizza la matrice.
La matrice è diagonalizzabile perché 3 autovalori distinti, \(\lambda_{1}=1\), \(\lambda_{2}=2\), \(\lambda_{3}=-3\). La matrice che diagonalizza è quella le cui colonne sono gli autovettori e vale: \[ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \]
Sia \(\pi\) il piano passante per i punti \(A=(-1,1,1)\), \(B=(3,-2,0)\), \(C=(-5,1,-1)\); determinarne l’equazione cartesiana.
Sia \(r\) la retta ortogonale al piano \(\pi\) nel punto \(P=(-9,3,-1)\) sia \(s\) la retta passante per i punti \(D=(-7,2,-2)\) ed \(E=(-8,-5,3)\)
Trovare le equazioni delle due rette e studiare la loro posizione reciproca stabilendo se esse sono incidenti, parallele o sghembe.
Trovare le coordinate dei due punti appartenti alla retta \(s\) aventi entrambi distanza dal punto \(Q=(-7,7,-5)\) pari a \(d(Q,\pi)\).
l’equazione del piano è: \[ \pi\;:\; x+2y-2z+1=0, \] le rette hanno equazione parametrica: \[ r\;:\; \begin{cases} x = -9+t, \\ y = 3+2t, \\ z = -1-2t \end{cases}, \qquad s\;:\; \begin{cases} x=-7-t, \\ y=2-7t, \\ z=-2+5t \end{cases} \] e sono incidenti nel punto \[ ( -6, 9, -7) \] La distanza \(d(Q,\pi) = 6\) e i punti su \(s\) aventi distanza 6 dal punto \(Q\) sono: \[ \left(-\frac{19}{3}-\frac{\sqrt{106}}{15},\quad \frac{20}{3}-\frac{7}{15}\sqrt{106},\quad -\frac{16}{3}+\frac{\sqrt{106}}{3} \right), \]