Discutere, al variare del parametro \(k \in \mathbb{R}\), le soluzioni del sistema di equazioni: \[ \begin{cases} kx+2\,z=0, \\ 2\,x+y-z=0,\\ x+kz={k}^{2}-2 \end{cases} \] Determinare in particolare le soluzioni del sistema per \(k=1\).
Il determinante del sistema è \({k}^{2}-2\). Quindi per \(k\neq\pm\sqrt{2}\) esiste una unica soluzione: \[ \begin{cases} x = -2, \\ y = k+4, \\ z = k, \end{cases} \] in particolate per \(k=1\) vale \[ \begin{cases} x = -2, \\ y = 5, \\ z = 1. \end{cases} \] Per \(k=+\sqrt{2}\) il sistema ammette \(\infty^{1}\) soluzioni. \[ \begin{cases} x = -z\,\sqrt{2}, \\ y = z(1+2\,\sqrt{2}). \end{cases} \] Per \(k=-\sqrt{2}\) il sistema ammette \(\infty^{1}\) soluzioni. \[ \begin{cases} x = z\,\sqrt{2}, \\ y = z(1-2\,\sqrt{2}). \end{cases} \]
Calcolare autovalori ed autovettori della seguente matrice: \[ \left( \begin{matrix} 0 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right) \] dire se è diagonalizzabile, se si scrivere la matrice che diagonalizza la matrice. In ogni caso scrivere gli autovettori corrispondenti agli autovalori.
La matrice non è diagonalizzabile perché ha 2 autovalori distinti, \(\lambda_{1}=0\), \(\lambda_{2}=2\) con le seguenti molteplicità: \[ \begin{array}{rclrcl} m_{a}(\lambda_{1}) &=& 1, \qquad & m_{a}(\lambda_{2}) &=& 2, \\ m_{g}(\lambda_{1}) &=& 1, \qquad & m_{g}(\lambda_{3}) &=& 1, \end{array} \] Gli autovettori sono: \[ \mathbf{u}_{1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right),\qquad \mathbf{u}_{2} = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right), \] con \(\mathbf{u}_{1}\) associato a \(\lambda_{1}\) e \(\mathbf{u}_{2}\) associato a \(\lambda_{2}\)
Sia \(\pi\) il piano passante per i punti \(A\), \(B\), e \(C\); determinarne l’equazione cartesiana.
Sia \(r\) la retta ortogonale al piano \(\pi\) passante per \(P\) e sia \(s\) la retta passante per i punti \(D\) ed \(E\). Trovare le equazioni delle due rette e studiare la loro posizione reciproca stabilendo se esse sono incidenti, parallele o sghembe. Se le rette sono incidenti calcolare il loro punto di incidenza.
Trovare le coordinate dei due punti appartenti alla retta \(r\) aventi entrambi distanza dal punto \(Q\) pari a \(d(Q,\pi)\). \[ A = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right),\quad B = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right),\quad C = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right),\quad D = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right),\quad E = \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 6 \end{matrix} \right),\quad P = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} \right),\quad Q = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right). \]
l’equazione del piano è: \[ \pi\;:\; x+y+z = 3, \] le rette hanno equazione parametrica: \[ r\;:\; \begin{cases} x=1+t\\ y=3+t\\ z=3+t \end{cases}, \qquad s\;:\; \begin{cases} x=2+2\,t\\ y=4+2\,t\\ z=3+3\,t \end{cases} \] e sono incidenti nel punto \[ \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 6 \end{matrix} \right), \]
La distanza \(d(Q,\pi) = 1/\sqrt{3}\) e i punti su \(r\) aventi distanza \(1/\sqrt{3}\) dal punto\(Q\) sono: \[ \left( \begin{matrix} 1/3 \\ 7/3 \\ 7/3 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} -1/3 \\ 5/3 \\ 5/3 \end{matrix} \right). \]