Discutere, al variare del parametro \(k \in \mathbb{R}\), le soluzioni del sistema di equazioni: \[ \begin{cases} 2\,x+k\,z=4+k, \\ 2\,x+k\,y=0,\\ x+2\,z=4 \end{cases} \]

Determinare in particolare le soluzioni del sistema per \(k=1\).

Il determinante del sistema è \(4\,k-{k}^{2}\). Quindi per \(k\neq 0,4\) esiste una unica soluzione: \[ \begin{cases} x = 2, \\ y = -4/k, \\ z = 1, \end{cases} \] in particolate per \(k=1\) vale \[ \begin{cases} x = 2, \\ y = -4, \\ z = 1. \end{cases} \] Per \(k=0\) il sistema non ammette soluzioni. Per \(k=4\) il sistema ammette \(\infty^{1}\) soluzioni: \[ \begin{cases} x = 4-2\,z, \\ y = z-2. \end{cases} \]

Calcolare autovalori ed autovettori della seguente matrice: \[ \left( \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & -1 & 5 \end{matrix} \right) \] dire se è diagonalizzabile, se si scrivere la matrice che diagonalizza la matrice. In ogni caso scrivere gli autovettori corrispondenti agli autovalori.

La matrice non è diagonalizzabile perché ha un solo autovalore, \(\lambda_{1}=4\), con molteplicità: \[ m_{a}(\lambda_{1}) = 3, \qquad m_{g}(\lambda_{1}) = 2, \] Gli autovettori sono: latexmath: \[ \mathbf{u}_{1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right),\qquad \mathbf{u}_{2} =\mathbf{u}_{1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \]

Sia \(\pi\) il piano passante per i punti \(A\), \(B\), e \(C\); determinarne l’equazione cartesiana.

Sia \(r\) la retta ortogonale al piano \(\pi\) passante per \(P\) e sia \(s\) la retta passante per i punti \(D\) ed \(E\). Trovare le equazioni delle due rette e studiare la loro posizione reciproca stabilendo se esse sono incidenti, parallele o sghembe. Se le rette sono incidenti calcolare il loro punto di incidenza.

Trovare le coordinate dei due punti appartenti alla retta \(r\) aventi entrambi distanza dal punto \(Q\) pari a \(d(Q,\pi)\).

\[ A = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad B = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right), \quad C = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad D = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad E = \left( \begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 5 \end{matrix} \right), \quad P = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right), \quad Q = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right), \]

l’equazione del piano è \[ \pi\;:\; x+2\,y+z = 3, \] le rette hanno equazione parametrica: \[ r\;:\; \begin{cases} x=1+t\\ y=2+2\,t\\ z=2+t \end{cases},\qquad s\;:\; \begin{cases} x=2+2\,t\\ y=2+6\,t\\ z=1+4\,t \end{cases} \] e sono incidenti nel punto \[ \left( \begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 5 \end{matrix} \right), \] La distanza \(d(Q,\pi) = \sqrt{2/3}\) e i punti su \(r\) aventi distanza \(\sqrt{2/3}\) dal punto \(Q\) sono: \[ \left( \begin{matrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 4/3 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} -1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{matrix} \right). \]