Discutere, al variare del parametro \(k \in \mathbb{R}\), le soluzioni del sistema di equazioni: \[ \begin{cases} kx-z=k, \\ -x+y+z=0,\\ x+k\,z=0 \end{cases} \]
Determinare in particolare le soluzioni del sistema per \(k=-2\).
Il determinante del sistema è \(k^{2}+1\). Quindi per ogni \(k\in\mathbb{R}\) esiste una unica soluzione:
in particolate per \(k=-2\) vale
Calcolare autovalori ed autovettori della seguente matrice: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & -2 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] dire se è diagonalizzabile, se si scrivere la matrice che diagonalizza la matrice. In ogni caso scrivere gli autovettori corrispondenti agli autovalori.
La matrice non è diagonalizzabile perché ha 2 autovalori distinti, \(\lambda_{1}=0\), \(\lambda_{2}=3\) con le seguenti molteplicità: \[ \begin{array}{rclrcl} m_{a}(\lambda_{1}=0) &=& 1, \qquad & m_{a}(\lambda_{2}=3) &=& 2, \\ m_{g}(\lambda_{1}=0) &=& 1, \qquad & m_{g}(\lambda_{2}=3) &=& 1, \end{array} \] Gli autovettori sono: \[ \mathbf{u}_{1} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \] con \(\mathbf{u}_{1}\) associato a \(\lambda_{1}\) e \(\mathbf{u}_{2}\) associato a \(\lambda_{2}\)
Sia \(\pi\) il piano passante per i punti \(A\), \(B\) e \(C\); determinarne l’equazione cartesiana.
Sia \(r\) la retta ortogonale al piano \(\pi\) passante per \(P\) e sia \(s\) la retta passante per i punti \(D\) ed \(E\). Trovare le equazioni delle due rette e studiare la loro posizione reciproca stabilendo se esse sono incidenti, parallele o sghembe. Se le rette sono incidenti calcolare il loro punto di incidenza.
Trovare le coordinate dei due punti appartenti alla retta \(r\) aventi entrambi distanza dal punto \(Q\) pari a \(d(Q,\pi)\). \[ A = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},\quad E = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix},\quad P = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad Q = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}. \]
l’equazione del piano è: \[ \pi\;:\; x-y+2\,z=4, \] le rette hanno equazione parametrica: \[ r\;:\; \begin{cases} x=3-t\\ y=1+t\\ z=1-2\,t \end{cases}, \qquad s\;:\; \begin{cases} x=2-t\\ y=2+t\\ z=1-4\,t \end{cases} \] e sono incidenti nel punto \[ \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ -3 \end{matrix} \right), \] La distanza \(d(Q,\pi) = \sqrt{6}\) e i punti su \(r\) aventi distanza \(\sqrt{6}\) dal punto \(Q\) sono: \[ \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}. \]