Discutere, al variare del parametro \(k \in \mathbb{R}\), le soluzioni del sistema di equazioni: \[ \begin{cases} x+k\,z=k, \\ k\,x+2\,y+z=0,\\ x+z=0 \end{cases} \]
Determinare in particolare le soluzioni del sistema per \(k=2\).
Il determinante del sistema è \(2-2{k}\). Quindi per ogni \(k\in\mathbb{R}\) e \(k\neq 1\) esiste una unica soluzione:
in particolate per \(k=2\) vale
Per \(k=1\) in sistema non ammette soluzione:
Calcolare autovalori ed autovettori della seguente matrice: \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] dire se è diagonalizzabile, se si scrivere la matrice che diagonalizza la matrice. In ogni caso scrivere gli autovettori corrispondenti agli autovalori.
La matrice è diagonalizzabile perché ha 2 autovalori distinti, \(\lambda_{1}=4\) \(\lambda_{2}=2\) con le seguenti molteplicità: \[ \begin{array}{rclrcl} m_{a}(\lambda_{1}=4) &=& 1, \qquad & m_{a}(\lambda_{2}=2) &=& 2, …\\ m_{g}(\lambda_{1}=4) &=& 1, \qquad & m_{g}(\lambda_{2}=2) &=& 2. \end{array} \]
Gli autovettori sono: \[ \mathbf{u}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] con \(\mathbf{u}_{1}\) associato \(\lambda_{1}\) e \(\mathbf{u}_{2}\), \(\mathbf{u}_{3}\) associati a \(\lambda_{2}\)
Sia \(\pi\) il piano passante per i punti \(A\), \(B\) e \(C\); determinarne l’equazione cartesiana.
Sia \(r\) la retta ortogonale al piano \(\pi\) passante per \(P\) e sia \(s\) la retta passante per i punti \(D\) ed \(E\). Trovare le equazioni delle due rette e studiare la loro posizione reciproca stabilendo se esse sono incidenti, parallele o sghembe. Se le rette sono incidenti calcolare il loro punto di incidenza.
Trovare le coordinate dei due punti appartenti alla retta \(r\) aventi entrambi distanza dal punto \(Q\) pari a \(d(Q,\pi)\).
\[ A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix},\quad E = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix},\quad P = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix},\quad Q = \begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}. \]
l’equazione del piano è: \[ \pi\;:\; x-y-z=0, \]
le rette hanno equazione parametrica:
\[ r\;:\; \begin{cases} x=2-2\,t\\ y=2+2\,t\\ z=2\,t \end{cases}\qquad s\;:\; \begin{cases} x=1-3\,t\\ y=-2+8\,t\\ z=1+3\,t \end{cases} \]
e sono incidenti nel punto
\[ \left( \begin{matrix} -2 \\ 6 \\ 4 \end{matrix} \right), \]
La distanza \(d(Q,\pi) = 2\sqrt{3}\) e i punti su \(r\) aventi distanza \(2\sqrt{3}\) dal punto \(Q\) sono:
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}. \]