Programma svolto corso di Calcolo Numerico¶
Prerequisiti
Teorema di Rolle genralizzato, Serie di Taylor, Torema della media. Norme vettoriali e matriciali.
Sistemi lineari metodi diretti
Metodo di Gauss e decomposizione LU. Numero di Condizionamento e sui significato. Pivoting e decomposizione LU con permutazioni.
Zeri di funzioni
Metodo di bisezione; metodo di Newton; Metodo delle secanti; ordine di convergenza del metodo di Newton. Metodo di Newton per funzioni in piu variabili.
Interpolazione
Interpolazione di Lagrange. Interpolazione di Newton e differenze divise. Nodi di Tchebichev. Stima dell’errore di interpolazione (con dimostrazione).
Integrazione numerica
Formule di Newton-Cotes (punto medio, trapezi, Simpson). Stima dell’errore (con dimostrazione per i Trapezi). Integrazione di Gauss con nodi di Legendre.
Minimi quadrati
Sistemi sovradeterminati e risoluzione con il metodo dei minimi quadrati. Regressione lineare e quadratica (retta per molti punti, parabola per molti punti)
Differenze finite
Approssimazione delle derivate prime e seconde. Derivazione delle formule con l’uso dei polinomi interpolanti, con l’uso dei coefficienti indeterminati e con lo sviluppo di Taylor.
Equazioni differenziali ordinarie
Metodi di Eulero in avanti (esplicito) e di Eulero all’indietro (implicito); metodo di Heun (o Eulero migliorato), metodo di Collatz (Eulero modificato o di Runge).
Metodi espliciti di Runge-Kutta Runge-Kutta del IV ordine. Cenni sui metodi multistep, Adams-bashforth Adams-Moulton.
Stabilità degli schmi numerici. Esempi con Eulero inplicito ed espliocito e regola schema multistep incondizionatamente instabile.
Equazioni differenziali ordinarie ai valori al contorno
Richiami delle psroprietà analitiche. Metodo delle differenze centrate e upwind. Principi di massimo continui e discreti.
Sistemi lineari metodi iterativi
Metodi iterativi basati sullo splitting. Condizionio necessarie e suffcienti per la convergenza degli schemi iterativi. Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel. Matrici a diagonale dominante e teorema di Gershgorin.