Esercizi per l’esame in Maple

1. Data una conica della forma \(a x^2 + b x y + c y^2 + d x + e y + f = 0\) determinare il tipo di conica e trovare la trasformazione del tipo

   \[\begin{split}\begin{cases} x = x' \cos\theta + y'\sin\theta+t_x & \\ y = -x' \sin\theta + y'\cos\theta+t_y & \end{cases}\end{split}\]

   porta la conica alla forma canonica.

   (livello di difficoltà 4)

2. Date due rette \(r\) e \(s\) scritte come intersezione di due piani:

   \[\begin{split}r = \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 & \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 & \end{cases}\end{split}\]
   \[\begin{split}s = \begin{cases} a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0 & \\ a_4x+b_4y+c_4z+d_4=0 & \end{cases}\end{split}\]

   determinare se le rette sono:

   • coincidenti;

   • parallele;

   • intersecanti;

   • sghembe;

   • \(r\) o \(s\) non rappresenta una retta.

   (livello di difficolà 2)

3. Scrivere una procedura Maple del tipo:

   > inverti := proc (A)
   >   ... return IA;
   > end proc;
   

   che data la matrice A restituisce la sua inversa IA calcolandola col metodo di Gauss senza fare uso delle primitive maple LinearSolve ne A^(-1).

   (livello di difficoltà 3)

4. Data la lista di vettori \([v_1,v_2,\ldots,v_n]\) scrivere una procedura maple

   > gs := proc ( lista )
   >   .. return nuovalista;
   > end proc;
   

   che stabilisce:

   • se i vettori sono tra loro linearmente indipendenti

   • calcola la matrice triangolare inferiore \(T\) e i vettori \(w_k\) cosi definiti

     \[w_k + \sum_{i=1}^{k-1} T_{k,i}w_i=v_k\]

     in modo tale che siano tra loro ortogonali cioè

     \[\begin{split}w_k\cdot w_j = \begin{cases} 0 & k\neq j \\ 1 & k=j \end{cases}\end{split}\]

     (livello di difficoltà 3)

5. Data la lista di punti: \([ [x_1,y_1],[x_2,y_2],\ldots,[x_n,y_n]]\) che definiscono i contorni di un poligono presi in senso antiorario e un punto pnt = \([x,y]\) scrivere una procedura Maple:

   > interno := proc ( pnt, lista )
   >   ...;
   > end proc;
   

   che stabilisce se il punto è interno, esterno o sul bordo del poligono.

   (livello di difficoltà 4)

6. Data la lista di punti: \([ [x_1,y_1],[x_2,y_2],\ldots,[x_n,y_n]]\) che definiscono i contorni di un poligono presi in senso antiorario e la retta \(r = [x_k,y_k]+t[v_x,v_y]\) scrivere una procedura Maple:

   > interno := proc ( t, lista )
   >   ...;
   >   return slst;
   > end proc;
   

   che restituisce la lista sei segmenti intersezione della retta con il poligono.

   (livello di difficoltà 4)

7. Sia data la lista di coppie di vettori: \([ [a_1,b_1],[a_2,b_2],\ldots,[a_n,b_n]]\) che definiscono la trasformazione di coordinate della mappa \(L\) come segue

   \[Aa_k = b_k, \qquad k=1,2,\ldots,n\]

   dove \(A\) è la matrice associata alla mappa lineare \(L\). Scrivere una procedura Maple:

   > interno := proc ( lista )
   >   ...;
   >   return A;
   > end proc;
   

   che (se i dati sono sufficienti e consistenti) restituisce tale matrice.

   (livello di difficoltà 5)

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