Programma svolto Corso di Geometria

Docente Enrico Bertolazzi

AA 2000/2001 gruppo (A-L) programma svolto

Richiami sui numeri complessi

Scalari e vettori

Esempi in \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{R}^3\).

Operazioni elementari (somma, moltiplicazione).

Disuguaglianza di Holder e Minkowski \((p=2)\) norma \(||\cdot||_2\).

Prodotto scalare

\[x\cdot y = \sum_{k=1}^n x_k y_k = ||x||_2 \qquad ||y||_2 \cos\theta = \dfrac{||x+y||_2^2-||x-y||_2^2}{4}\]

Estensione al caso complesso. Uso del prodotto scalare per il calcolo degli angoli tra vettori.

Prodotto vettoriale

Uso del prodotto vettoriale per la costruzione di vettori ortogonali a piani o coppie vettori.

Matrici

Quadrate, nulla, identità, diagonali, triangolari, simmetriche hermitiane e SPD.

Rette e piani

Forma parametrica e implicita e con i vettori normali, conversione tra le varie forme, angolo tra rette, distanza punto retta punto piano.

Spazio vettoriale

Definizione, esempi \(\mathbb{R}^n\) e \(K[x]\), span, vettori linearmente dipendenti, base di vettori e coordinate. Teorema di Grassmann

\[\mathrm{dim}(V+W)= \mathrm{dim}(V)+\mathrm{dim}(W)-\mathrm{dim}(V\cap W)\]

Mappe Lineari

Mappe lineari e matrici associate. Equivalenza della composizione di mappe e prodotto matriciale.

Definizione di range e kernel. Teorema rango nullita (dim(range)+dim(kernel)).

Metodo di Gauss

Metodo di Gauss e sue varianti. Connessione del metodo di Gauss e i cambi di coordinate. Calcolo del kernel e range di una matrice. Calcolo delll’inversa. Calcolo del rango di una matrice.

Determinanti

Determinante definizione assiomatica. Sviluppo di Laplace del determinante. Calcolo del determinante col metodo di Gauss. Derivazione della regola di Cramer.

Autovalori e autovettori

Autovalori e autovettori di una trasformazione lineare. Molteplicità algebrica e geometrica. Trasformazioni di similitudine e invarianza del polinomio caratteristico. Calcolo degli autovettori e diagonalizzazione di una matrice.

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